Question

（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点  。

（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。       

Answer 1

（I）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，                

则MG⊥CD，MG=2，NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值                                          ……6分

解法二：

  设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2).                      

又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·                

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos·                                         ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，                                       ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.                                  ……12分