Question

【题目】已知椭圆 上两个不同的点A，B关于直线y=mx+ 对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程 ，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，

设线段AB的中点P（x0，y0），则 ．x0=﹣m× +n= ，

由于点P在直线y=mx+ 上，∴ = + ，

∴ ，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，

解得m2 ，∴ 或m

（2）解：直线AB与x轴交点横坐标为n，

∴S△OAB= = |n| = ，

由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2） = ，

∴S△AOB = ，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵ ，解得m= ，

当且仅当m= 时，S△AOB取得最大值为

【解析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0 ， y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+ ，可得 ，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB= ，再利用均值不等式即可得出．