Question

函数f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）是（　　）

A．非奇非偶函数

B．仅有最小值的奇函数

C．仅有最大值的偶函数

D．既有最大值又有最小值的偶函数

Answer 1

分析：根据诱导公式化简得f（x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=f（x），函数是偶函数．再化简得f（x）=2cos²x+cosx-1，可得当cosx=-

1

4

时函数有最小值且cosx=1时函数有最大值，由此可得答案．

解答：解：根据诱导公式，得sin（

π

2

-x）=cosx
∴函数f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx
f（-x）=cos（-2x）+cos（-x）=cos2x+cosx=f（x）
∴函数f（x）是偶函数
又∵f（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1
∴当cosx=-

1

4

时，函数有最小值-

9

8

；当cosx=1时，函数有最大值2
综上所述，函数f（x）是既有最大值又有最小值的偶函数
故选：D

点评：本题给出三角函数的表达式，判断函数的奇偶性并求函数的最值．着重考查了三角函数的奇偶性判断和二次函数在闭区间上的最值等知识，属于中档题．