Question

已知函数f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|，其中m∈R．
（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数g(x)=

f1(x) x≥2  f2(x) x＜2.

若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g（x₁）=g（x₂）成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；
（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g（x₁）=g（x₂）成立”分别可求出g（x₁）、g（x₂）的值域，使g（x₁）的值域为g（x₂）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．

解答：解：（1）f（x）为单调减函数．（1分）
证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f₁（x）+f₂（x）=

mx

4x2+16

+(

1

2

)x-m=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x．
由f′(x)=

4m(4-x2)

(4x2+16)2

+2m•(

1

2

)xln

1

2

=

m(4-x2)

(2x2+8)2

-2m•(

1

2

)xln2，（4分）
且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f₁（x）和f₂（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）
（2）①若m≤0，由x₁≥2，g(x1)=f1(x1)=

mx1

4 x 2 1 +16

≤0，
x₂＜2，g(x2)=f2(x2)=(

1

2

)|x2-m|＞0，
所以g（x₁）=g（x₂）不成立．（7分）
②若m＞0，由x＞2时，g′(x)=f1′(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

＜0，
所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x₁）∈（0，f₁（2）]，即g(x1)∈(0，

m

16

]．（9分）
（a）若m≥2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(

1

2

)|x-m|=(

1

2

)m-x=(

1

2

)m•2x，
所以g（x）在（-∞，2）上单调递增，从而g（x₂）∈（0，f₂（2）），即g(x2)∈(0，(

1

2

)m-2)．
要使g（x₁）=g（x₂）成立，只需

m

16

＜(

1

2

)m-2，即

m

16

-(

1

2

)m-2＜0成立即可．
由于函数h(m)=

m

16

-(

1

2

)m-2在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，
所以2≤m＜4．（12分）
（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(

1

2

)|x-m|=

( 1 2 )m-x x＜m ( 1 2 )x-m m≤x＜2.

所以g（x）在（-∞，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．
从而g（x₂）∈（0，f₂（m）]，即g（x₂）∈（0，1]．
要使g（x₁）=g（x₂）成立，只需

m 16 ＜1 m 16 ≤( 1 2 )2-m

成立，即

m

16

≤(

1

2

)2-m成立即可．
由0＜m＜2，得

m

16

＜

1

8

，  (

1

2

)2-m＞

1

4

．
故当0＜m＜2时，

m

16

≤(

1

2

)2-m恒成立．（15分）
综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．