题目内容

过椭圆C:
x2
4
+
y2
3
=1
的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点,则
1
|AF|
+
1
|BF|
=(  )
分析:先根据椭圆方程求得焦点坐标,进而设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值,进而根据直线方程求得y1y2的值,最后根据弦长公式求出|AB|,利用韦达定理求出|AF|•|BF|,即可求得答案.
解答:解:由
X2
4
+
y2
3
=1

得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,左焦点为(-1,0).
则过左焦点F,倾斜角为60°直线l的方程为y=
3
(x+1).
代入
X2
4
+
y2
3
=1

得5x2+8x=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1•x2=0,x1+x2=-
8
5

又y1y2=
3
(x1+1)
3
(x2+1)=3x1x2+3(x1+x2)+3=-
9
5

根据弦长公式得:|AB|=
1+3
(-
8
5
)
2
-4×0
=
16
5

且|AF||BF|=
(x1+1)2y12
(x2+1)2+y22

=
(
1
3
y 1)
2
+y12
(
1
3
y 2)
2
+y22

=
4
3
|y1y2|=
12
5

1
|AF|
+
1
|BF|
=
|AB|
|AF||BF|
=
4
3

故选A.
点评:本题主要考查了椭圆的应用.当涉及过叫焦点的直线时,常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决.
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