题目内容
过椭圆C:
+
=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点,则
+
=( )
x2 |
4 |
y2 |
3 |
1 |
|AF| |
1 |
|BF| |
分析:先根据椭圆方程求得焦点坐标,进而设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值,进而根据直线方程求得y1y2的值,最后根据弦长公式求出|AB|,利用韦达定理求出|AF|•|BF|,即可求得答案.
解答:解:由
+
=1,
得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,左焦点为(-1,0).
则过左焦点F,倾斜角为60°直线l的方程为y=
(x+1).
代入
+
=1,
得5x2+8x=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1•x2=0,x1+x2=-
,
又y1y2=
(x1+1)•
(x2+1)=3x1x2+3(x1+x2)+3=-
,
根据弦长公式得:|AB|=
=
,
且|AF||BF|=
•
=
•
=
|y1y2|=
∴
+
=
=
故选A.
X2 |
4 |
y2 |
3 |
得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,左焦点为(-1,0).
则过左焦点F,倾斜角为60°直线l的方程为y=
3 |
代入
X2 |
4 |
y2 |
3 |
得5x2+8x=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1•x2=0,x1+x2=-
8 |
5 |
又y1y2=
3 |
3 |
9 |
5 |
根据弦长公式得:|AB|=
1+3 |
(-
|
16 |
5 |
且|AF||BF|=
(x1+1)2+ y12 |
(x2+1)2+y22 |
=
(
|
(
|
=
4 |
3 |
12 |
5 |
∴
1 |
|AF| |
1 |
|BF| |
|AB| |
|AF||BF| |
4 |
3 |
故选A.
点评:本题主要考查了椭圆的应用.当涉及过叫焦点的直线时,常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决.

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