Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数．
（1）求a值和函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若当x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，求m取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是奇函数，则f（0）=0，可求出a的值，从而求出f（x）的解析式，根据指数的有界性求出函数的值域，将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，根据反函数的定义域即为原函数的值域可得所求；
（2）由（1）得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立根据函数在（0，+∞）上的单调性建立不等式，将m分离出来，即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立，从而求出所求．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f(0)=0⇒

a•1+a-2

1+1

=0，∴a=1…（2分）
记y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0∴

1+y

1-y

＞0⇒-1＜y＜1
上式两边取2为底的对数，x=log2

1+y

1-y

，交换x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函数f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
（2）由（1）得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函数，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范围是m≥2…（13分）

点评：本题主要考查了反函数，以及反函数与原函数的之间的关系，同时考查了恒成立问题和最值问题，是一道综合题．