Question

（本小题满分14分）
已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．

Answer 1

（1） 依题意可得，．
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，即．
所以双曲线的方程为．
（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），
则直线的方程为，
联立方程组 
整理，得，
解得或．所以．
同理可得，．
所以．
证法2：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，．
所以，即．
所以．
证法3：设点，直线的方程为，
联立方程组 
整理，得，
解得或．
将代入，得，即．
所以．
（3）解：设点、（，，），
则，．
因为，所以，即．
因为点在双曲线上，则，所以，即．
因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．
因为，，
所以．
由（2）知，，即．
设，则，
．
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以当，即时，．
当，即时，．
所以的取值范围为．

略