Question

设α∈R，则“a=1”是“f（x）=lg（a+

2

x-1

）为奇函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

Answer 1

分析：首先明白函数f（x）是奇函数必须满足：定义域关于原点对称及定义域内的任意x满足f（-x）+f（x）=0．再验证是否满足充要条件即可．

解答：解：“?”：a=1时，f（x）=lg

x+1

x-1

，由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称；
又f（-x）+f（x）=lg

-x+1

-x-1

+lg

x+1

x-1

=lg1=0，∴函数f（x）是奇函数．
“?”：若f（x）=lg（a+

2

x-1

）为奇函数，则f（-x）+f（x）=lg(a+

2

x-1

)+lg(a+

2

-x-1

)=0，
化为（a-1）[（a+1）（x²-1）+4]=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，由上面可知a=1满足题意．
故“a=1”是“f（x）=lg（a+

2

x-1

）为奇函数”的充要条件．
故选C．

点评：充分理解奇函数的定义和充要条件是解题的关键．