题目内容
设α∈R，则“a=1”是“f（x）=lg（a+
）为奇函数”的（ ）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【答案】分析：首先明白函数f（x）是奇函数必须满足：定义域关于原点对称及定义域内的任意x满足f（-x）+f（x）=0．再验证是否满足充要条件即可．
解答：解：“⇒”：a=1时，f（x）=
，由
，解得x＜-1或x＞1，∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称；
又f（-x）+f（x）=
=lg1=0，∴函数f（x）是奇函数．
“?”：若f（x）=lg（a+
）为奇函数，则f（-x）+f（x）=
，
化为（a-1）[（a+1）（x2-1）+4]=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，由上面可知a=1满足题意．
故“a=1”是“f（x）=lg（a+
）为奇函数”的充要条件．
故选C．
点评：充分理解奇函数的定义和充要条件是解题的关键．
解答：解：“⇒”：a=1时，f（x）=
，由，解得x＜-1或x＞1，∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称；又f（-x）+f（x）=
=lg1=0，∴函数f（x）是奇函数．“?”：若f（x）=lg（a+
）为奇函数，则f（-x）+f（x）=，化为（a-1）[（a+1）（x2-1）+4]=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，由上面可知a=1满足题意．
故“a=1”是“f（x）=lg（a+
）为奇函数”的充要条件．故选C．
点评：充分理解奇函数的定义和充要条件是解题的关键．
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