题目内容
16．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1）在区间（-1，+∞）上递减，求证：对于任意实数x1＞0，x2＞0，恒有$\frac{1}{2}$[f（x1-1）+f（x2-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1）分析 由条件，结合对数函数的性质，可得0＜a＜1，运用作差法和对数的运算性质，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可得证．
解答 证明：函数f（x）=loga（x+1）在区间（-1，+∞）上递减，
即有0＜a＜1，
对于任意实数x1＞0，x2＞0，
$\frac{1}{2}$[f（x1-1）+f（x2-1）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$（logax1+logax2）-loga$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
=loga$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-loga$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
由于$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又0＜a＜1，
则loga$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≥loga$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$[f（x1-1）+f（x2-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1），
当且仅当x1=x2取得等号．
点评 本题考查对数函数的单调性的运用，同时考查对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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7．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[-1，0]，f（x）=x2+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | m≤1 | B． | 0＜m≤1 | C． | m≥1 | D． | 0＜m≤2 |
1．定义在R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，且满足f（3-x）=f（x），当x≠$\frac{3}{2}$时总有（x-$\frac{3}{2}$）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），若x1＜x2，且x1+x2＞3，则（ ）
| A． | f（x1）＞f（x2） | B． | f（x1）＜f（x2） | ||
| C． | f（x1）=f（x2） | D． | f（x2）与f（x2）的大小无法确定 |