题目内容
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．
【答案】分析：（Ⅰ）（i）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（ii）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．
（Ⅱ）根据类似（Ⅰ）的命题方法进行求解，可知曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），再求出P3，从而进行求解；
解答：解：（Ⅰ）（i）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=3（x-
）（x+
），
当x∈（-∞，-
）和（
，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-
，
）时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，-
）和（
，+∞），单调递减区间为（-
，
）；
（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由
；
解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，
进而有S1=|
（x3-3x13x+2x13）dx|=
，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得
x3=-2x2和S2=
，∴
=
；图形
（Ⅱ）类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：
若对于任意不等于
的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），
曲线C′与其在点P2（x1，g（x1））处的切线交于另一点P3（x3，g（x1）），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S1，S2，则
为定值；
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心（
，g（
））
平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0，类似（Ⅰ）（ii）的计算可得：S1=
，S2=
，故
=
；
点评：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
（ii）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．
（Ⅱ）根据类似（Ⅰ）的命题方法进行求解，可知曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），再求出P3，从而进行求解；
解答：解：（Ⅰ）（i）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=3（x-
）（x+），当x∈（-∞，-
）和（，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（-
，）时，f′（x）＜0，因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，-
）和（，+∞），单调递减区间为（-，）；（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由
；解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，
进而有S1=|
（x3-3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=-2x2和S2=
，∴=；图形（Ⅱ）类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：
若对于任意不等于
的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），曲线C′与其在点P2（x1，g（x1））处的切线交于另一点P3（x3，g（x1）），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S1，S2，则
为定值；证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心（
，g（））平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0，类似（Ⅰ）（ii）的计算可得：S1=
，S2=，故=；点评：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|