Question

 （本小题12分）

如图3，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱中，AC=BC, AC⊥BC,点D是A₁B₁中点.

(1)求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;

(2)若AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值为，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

 

Answer 1

（1）据题意A₁C₁=B₁C₁,

且D为A₁B₁中点

∴C₁D⊥A₁B₁, 又BB₁⊥面A₁B₁C₁, C₁D 面A₁B₁C₁，

∴BB₁⊥C₁D, ∴ C₁D⊥面A₁ABB₁, …………2分

又C₁D 面AC₁D

∴面AC₁D⊥平面A₁ABB₁………………………4分

      （2）由（1）知C₁D⊥面A₁ABB₁,

∴∠ C₁AD为AC₁与平面A₁ABB₁所成的角……6分

设AC=CB=1,AA₁=x,则AC₁=,C₁D=

sin∠ C₁AD=, ∴x=2.    …………………8分

又因为AC、CB、CC₁两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：

取面A₁C₁A的法向量为，设面ADC₁的法向量为，又C₁(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),

 ∴,,=0, ∴x-2z=0

=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴

 ………………………………11分

又D在面A₁AC₁上的射影为A₁C₁的中点，故二面角D- AC₁-A₁为锐角，

设为 ，所以   …………………………………………12分