Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²-x，g（x）=lnx，
（1）若a=

1

2

，求函数y=f（x）-2g（x）的极值，
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出y=f（x）-2g（x）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），则问题等价于h（x）_min≥0，h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用导数可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可对h（x₂）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x₂）≤0，由此刻求得x₂=1，进而求得a值；

解答：解：（1）当a=

1

2

时，y=f（x）-2g（x）=

1

2

x²-x-2lnx，
y′=x-1-

2

x

=

(x+1)(x-2)

x

，
因为x＞0，所以当0＜x＜2时，y′＜0，当x＞2时，y′＞0，
所以函数y=f（x）-2g（x）在x=2处取得极小值f（2）-2g（2）=-ln4，
函数y=f（x）-2g（x）没有极大值．
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
所以h′(x)=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有两个不等根x₁，x₂，x₁ x₂=-

1

2a

＜0，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，所以h（x₂）=a

x

2 2

-x2-ln(ax2)≥0成立，
因为p（x₂）=2ax22-x2-1=0，所以ax2=

1+x2

2x2

，所以h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，
令k（x）=

1-x

2

-ln

1+x

2x

=

1-x

2

+ln2x-ln(1+x)，k′(x)=-

(x-1)(x2)

2x(x+1)

，
所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，
所以x₂=1代入ax2=

1+x2

2x2

，得a=1，
所以a∈{1}．
故存在实数a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值以及闭区间上函数的最值、函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，根据问题恰当构造函数是解决该题目的关键，要认真领会．属于难题．