题目内容
在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中的轨迹E上的定点P（x0，y0）（y0＞0）作两条直线分别与轨迹E相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
分析：（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程；
（2）设出PC，PD的方程，代入抛物线方程，求出C，D的纵坐标，表示出直线CD的斜率，即可得出结论．
（2）设出PC，PD的方程，代入抛物线方程，求出C，D的纵坐标，表示出直线CD的斜率，即可得出结论．
解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以其方程为y2=2x；
（2）由题意，设PC：x=my+b，代入（x0，y0），可得b=x0-my0，所以x=my+x0-my0，代入y2=2x，可得y2=2（my+x0-my0），即y2-2my-2x0+2my0=0，
∴y0+y1=2m，∴y1=2m-y0，
同理，设PD：x=-my+n，代入（x0，y0），可得n=x0+my0，所以x=-my+x0+my0，代入y2=2x，可得y2=2（-my+x0+my0），即y2+2my-2x0-2my0=0，
∴y0+y2=2m，∴y2=-2m-y0，
又kCD=
=
=
=-
，∴直线CD的斜率是定值．
所以动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以其方程为y2=2x；
（2）由题意，设PC：x=my+b，代入（x0，y0），可得b=x0-my0，所以x=my+x0-my0，代入y2=2x，可得y2=2（my+x0-my0），即y2-2my-2x0+2my0=0，
∴y0+y1=2m，∴y1=2m-y0，
同理，设PD：x=-my+n，代入（x0，y0），可得n=x0+my0，所以x=-my+x0+my0，代入y2=2x，可得y2=2（-my+x0+my0），即y2+2my-2x0-2my0=0，
∴y0+y2=2m，∴y2=-2m-y0，
又kCD=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
| 2m-y0-2m-y0 |
| 1 |
| y0 |
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系，考查学生的计算能力，正确设出直线的方程是关键．
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