题目内容

(2010•龙岩二模)图甲是一个几何体的表面展开图,图乙是棱长为1cm的正方体.
(Ⅰ)若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来,使点M、N、P、Q重合,则可以围成怎样的几何体?请求出此几何体的体积;
(Ⅱ)需要多少个(I)的几何体才能拼成一个图乙中的正方体?请按图乙中所标字母写出这几个几何体的名称;
(Ⅲ)在图乙中,点E为棱AB上的动点,试判断A1D与平面C1D1E是否垂直,并说明理由.
分析:(I)围成的是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,然后根据锥体的体积公式求之即可;
(II)根据体积可知需要3个(I)的几何体才能拼成一个图乙中的正方体,然后列举即可;
(III)先判定A1D与平面C1D1E是否垂直,然后连接AD1与BC1,根据AB⊥平面AA1D1D,A1D?平面AA1D1D,由线面垂直的判定定理可知AB⊥A1D,又A1D⊥AD1且AD1∩AB=A,满足线面垂直的判定定理所需条件,即可证得结论.
解答:解:(I)围成的是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥
其体积是:
1
3
×1×1×1=
1
3
cm2
(II)需要3个(I)的几何体才能拼成一个图乙中的正方体,
它们分别是四棱锥C-A1B1C1D1,C-AA1B1B,C-AA1D1D
(III)A1D⊥平面C1D1E证明如下:
连接AD1与BC1,则平面C1D1E即为平面ABC1D1
在正方体中,AB⊥平面AA1D1D,A1D?平面AA1D1D
∴AB⊥A1D
又A1D⊥AD1且AD1∩AB=A
∴A1D⊥平面ABC1D1即A1D⊥平面C1D1E
点评:本题主要考查了几何体的体积的度量,以及线面垂直的判定,同时考查了空间想象能力和推理论证的能力,属于中档题.
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