题目内容

已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
分析:(1)向将双曲线转化为标准形式,得到a,b,c的值,即可得到焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)先根据双曲线的定义得到||PF1|-|PF2||=6,再由余弦定理得到cos∠F1PF2的值,进而可得到∠F1PF2的大小.
解答:解:(1)由16x2-9y2=144得
x2
9
-
y2
16
=1,
∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=
5
3
,渐近线方程为y=±
4
3
x.
(2)||PF1|-|PF2||=6,
cos∠F1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1||PF2|

=
(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2
2|PF1||PF2|
=
36+64-100
64
=0.
∴∠F1PF2=90°.
点评:本题主要考查双曲线的基本性质和余弦定理的应用,考查基础知识的简单应用.
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