Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1和定点P(2，

1

2

)．
（1）求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程；
（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当斜率不存在时，x=2符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

，代入双曲线方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0，再分类讨论，即可求得结论；
（2）设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点符合题意，根据

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可得P(2，

1

2

)为中点，利用韦达定理，可求k=1，此时方程的△＜0．

解答：解：（1）当斜率不存在时，x=2符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为y-

1

2

=k（x-2），即y=kx-2k+

1

2

代入双曲线方程，消元可得（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0
当4k²-1=0，即k=±

1

2

时，方程有唯一解，满足题意，此时直线方程为：x-2y-1=0，x+2y-3=0
当4k²-1≠0，即k≠±

1

2

时，令△=0，可得k=

5

8

，此时直线方程为：5x-8y-6=0
故过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程为x-2y-1=0，x+2y-3=0，5x-8y-6=0，x=2
（2）设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点符合题意，
∵

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴P(2，

1

2

)为中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=1
同（1）知x₁，x₂是方程（4k²-1）x²-k（16k-4）x+（16k²-8k+5）=0的两根，
∴x1+x2=

k(16k-4)

4k2-1

，
∴

k(16k-4)

4k2-1

=4，
∴k=1
此时方程为3x²-12x+13=0，△＜0，故k=1不符合题意，所以符合题意的直线AB不存在．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，要注意判别式的验证．