题目内容
双曲线C与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线y=
x为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点M（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求
•
的范围．
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
| ||
| 3 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点M（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求
| MP |
| MQ |
分析：（1）设双曲线方程为：
-
=1，由椭圆方程可得c=2，由条渐近线可得
=
，结合a2=b2+c2可得ab的值，可得方程；
（2）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），可得
与
的坐标，可得
•
结合
-y02=1可得关于x0的二次函数，由x0的范围可得．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
（2）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），可得
| MP |
| MQ |
| MP |
| MQ |
| x02 |
| 3 |
解答：解：（1）设双曲线方程为：
-
=1 （a＞0，b＞0），
由椭圆
+
=1，求得两焦点（-2，0），（2，0），
∴对双曲线C，c=2，
又直线y=
x为C的一条渐近线，
∴
=
，
结合a2=b2+c2，
解得：a2=3，b2=1
∴双曲线C的方程为
-y2=1；
（2）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），
∴
=（x0，y0-1），
=（-x0，-y0-1）
∴
•
=-x02-y02+1，
又
-y02=1，
∴
•
=-x02-
+2=-
+2，
又|x0|≥
，∴x02≥3
∴
•
=-
+2≤-4+2=-2
∴
•
的范围是（-∞，-2]
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由椭圆
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
∴对双曲线C，c=2，
又直线y=
| ||
| 3 |
∴
| b |
| a |
| ||
| 3 |
结合a2=b2+c2，
解得：a2=3，b2=1
∴双曲线C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），
∴
| MP |
| MQ |
∴
| MP |
| MQ |
又
| x02 |
| 3 |
∴
| MP |
| MQ |
| x02 |
| 3 |
| 4x02 |
| 3 |
又|x0|≥
| 3 |
∴
| MP |
| MQ |
| 4x02 |
| 3 |
∴
| MP |
| MQ |
点评：本题考查双曲线的标准方程，涉及向量数量积的运算，属中档题．
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