Question

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，则下列条件中能推出△ABC为锐角三角形的条件是

④

．（把正确答案的序号都写在横线上）
①sinA+cosA=

1

5

②

AB

•

BC

＜0
③b=3，c=3

3

，B=30°④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析：①对sinA+cosA=

1

5

，两边同时平方可得整理可得，sinAcosA=-

12

25

 则有

π

2

＜A＜π
②

AB

•

BC

＜0⇒B为锐角，但不能肯定△ABC为锐角三角形；③由正弦定理可得

3

sin 30°

=

3 3

sinC

⇒sinC=

3

2

 结合c＞b 可得C＞B=30°从而可得，当C=60°时A=90° 当 C=120°时，A=30°④由题意可得A，B，C不能为直角，钝角最多一个，故可设设A，B均为锐角，由tanA+tanB+tanC＞0，结合三角形的内角和及两角和的正切公式，tanA+tanB＞tan（A+B）⇒

tanAtanB

1-tanAtanB

＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（

π

2

-B）⇒A＞

π

2

-B⇒A+B＞

π

2

，C＜

π

2

解答：解：①sinA+cosA=

1

5

，⇒1+2sinAcosA=

1

25

，sinAcosA=-

12

25

 所以

π

2

＜A＜π①不能推出
②

AB

•

BC

＜0⇒B为锐角，但不能肯定△ABC为锐角三角形
③由正弦定理可得

3

sin 30°

=

3 3

sinC

⇒sinC=

3

2

∵c＞b∴C＞B=30°
当C=60°时A=90° 当 C=120°时，A=30°③不能推出
④由题意可得A，B，C不能为直角，故可设设A，B均为锐角
tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB＞tan（A+B）⇒

tanAtanB

1-tanAtanB

＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（

π

2

-B）⇒A＞

π

2

-B⇒A+B＞

π

2

，C＜

π

2

 ④为锐角三角形
故答案为：④

点评：本题以三角形的判断为平台，综合考查了同角平方关系，向量的夹角的概念，正弦定理及大边对大角，两角和的正切公式、三角形的内角和定理、正切函数的单调性．