题目内容

给出以下命题:
①若α、β均为第一象限角,且α>β,且sinα>sinβ;
②若函数y=2cos(ax-
π
3
)
的最小正周期是4π,则a=
1
2

③函数y=
sin2x-sinx
sinx-1
是奇函数;
④函数y=|sinx-
1
2
|
的周期是π
⑤函数y=sinx+sin|x|的值域是[0,2]
其中正确命题的个数为(  )
A、3B、2C、1D、0
分析:①若α、β均为第一象限角,且α>β,取α=4π+
π
6
β=2π+
π
3
,可知sinα<sinβ;
②若函数y=2cos(ax-
π
3
)
的最小正周期是4π,则
|a|
=4π
,解得a=±
1
2

③由函数y=
sin2x-sinx
sinx-1
,可知sinx-1≠0,而由sinx≠1,得到x≠2kπ+
π
2
(k∈Z)
,可知此函数的定义域关于原点不对称;
④由于|sin(π+x)-
1
2
|=|sinx+
1
2
|≠|sinx-
1
2
|,可知π不是函数y=|sinx-
1
2
|
的周期.
⑤函数y=sinx+sin|x|=
2sinx,x≥0
0,x<0
,当x≥0时,sinx∈[-1,1],可知函数的值域为[-2,2].
解答:解:①若α、β均为第一象限角,且α>β,如α=4π+
π
6
β=2π+
π
3
,但是sinα<sinβ,因此不正确;
②若函数y=2cos(ax-
π
3
)
的最小正周期是4π,则
|a|
=4π
,解得a=±
1
2
,因此不正确;
③由函数y=
sin2x-sinx
sinx-1
,可知sinx-1≠0,而由sinx≠1,得到x≠2kπ+
π
2
(k∈Z)
,可知此函数的定义域关于原点不对称,因此不是奇函数,故不正确;
④∵|sin(π+x)-
1
2
|=|sinx+
1
2
|≠|sinx-
1
2
|,∴π不是函数y=|sinx-
1
2
|
的周期.
⑤函数y=sinx+sin|x|=
2sinx,x≥0
0,x<0
,当x≥0时,sinx∈[-1,1],可知函数的值域为[-2,2],因此不正确.
综上可知:①②③④⑤都不正确.
故选:D.
点评:本题综合考查了三角函数的图象与性质,属于难题.
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