题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ x³- $数学公式$ （a+ $数学公式$ ）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，则a为何值时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大？并求该切线方程；
（2）当a=2时，函数f（x）在区间（k- $数学公式$ ，k+ $数学公式$ ）内不是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围．

解：（1）求导函数，可得 $\text{[math]}$
∵a＞0，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=1时，等号成立
即当a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，该切线方程为y= $\text{[math]}$ ；
（2）当a=2时，f（x）= $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+x
$\text{[math]}$
令f′（x）＞0，可得 $\text{[math]}$ 或x＞2，此时函数单调递增；
令f′（x）＜0，可得 $\text{[math]}$ ，此时函数单调递减；
要使函数f（x）在区间（k- $\text{[math]}$ ，k+ $\text{[math]}$ ）内不是单调函数，则
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂= $\text{[math]}$ ．
①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；
②当a＞0时，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（ $\text{[math]}$ ）}，
∵f（0）=0，∴ $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ ，
综上所得，a的取值范围是a＜0或 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）求导函数，可得 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式，可知a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，从而可求切线方程；
（2）当a=2时，f（x）= $\text{[math]}$ x³- $\text{[math]}$ x²+x，求导函数 $\text{[math]}$ ，从而可知 $\text{[math]}$ 或x＞2时，函数单调递增， $\text{[math]}$ 时函数单调递减，要使函数f（x）在区间（k- $\text{[math]}$ ，k+ $\text{[math]}$ ）内不是单调函数，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，从而可求实数k的取值范围；
（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分类讨论：①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；②当a＞0时，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（ $\text{[math]}$ ）}≥0即可，从而可求a的取值范围．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查学生分析解决问题的能力，综合性强．