题目内容
已知函数f(x)=
x3-
(a+
)x2+x(a∈R,a≠0).
(1)若a>0,则a为何值时,f(x)在点(1,f(1))处切线斜率最大?并求该切线方程;
(2)当a=2时,函数f(x)在区间(k-
,k+
)内不是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)若f(x)的图象不经过第四象限,求实数a的取值范围.
解:(1)求导函数,可得
∵a>0,∴
∴
,当且仅当a=1时,等号成立
即当a=1时,f(x)在点(1,f(1))处切线斜率最大,该切线方程为y=
;
(2)当a=2时,f(x)=
x3-
x2+x

令f′(x)>0,可得
或x>2,此时函数单调递增;
令f′(x)<0,可得
,此时函数单调递减;
要使函数f(x)在区间(k-
,k+
)内不是单调函数,则
或
∴
或
(3)f(x)的图象不经过第四象限,即f(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立.
令f′(x)=0得x1=a,x2=
.
①当a<0时,f(x)在[0,+∞)单调递增,符合题意;
②当a>0时,∵x∈[0,+∞),
∴f(x)min=min{f(0),f(a),f(
)},
∵f(0)=0,∴
得
≤a≤
,
综上所得,a的取值范围是a<0或
≤a≤
.(13分)
分析:(1)求导函数,可得
,利用基本不等式,可知a=1时,f(x)在点(1,f(1))处切线斜率最大,从而可求切线方程;
(2)当a=2时,f(x)=
x3-
x2+x,求导函数
,从而可知
或x>2时,函数单调递增,
时函数单调递减,要使函数f(x)在区间(k-
,k+
)内不是单调函数,则
或
,从而可求实数k的取值范围;
(3)f(x)的图象不经过第四象限,即f(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立.分类讨论:①当a<0时,f(x)在[0,+∞)单调递增,符合题意;②当a>0时,f(x)min=min{f(0),f(a),f(
)}≥0即可,从而可求a的取值范围.
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,同时考查学生分析解决问题的能力,综合性强.

∵a>0,∴

∴

即当a=1时,f(x)在点(1,f(1))处切线斜率最大,该切线方程为y=

(2)当a=2时,f(x)=



令f′(x)>0,可得

令f′(x)<0,可得

要使函数f(x)在区间(k-




∴


(3)f(x)的图象不经过第四象限,即f(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立.
令f′(x)=0得x1=a,x2=

①当a<0时,f(x)在[0,+∞)单调递增,符合题意;
②当a>0时,∵x∈[0,+∞),
∴f(x)min=min{f(0),f(a),f(

∵f(0)=0,∴

得


综上所得,a的取值范围是a<0或


分析:(1)求导函数,可得

(2)当a=2时,f(x)=









(3)f(x)的图象不经过第四象限,即f(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立.分类讨论:①当a<0时,f(x)在[0,+∞)单调递增,符合题意;②当a>0时,f(x)min=min{f(0),f(a),f(

点评:本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,同时考查学生分析解决问题的能力,综合性强.

练习册系列答案
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π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|