Question

已知函数f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

，x∈R
（1）将f（x）表示成Asin（2x+φ）+B的形式（其中A＞0，0＜φ＜2π）
（2）将y=f（x）的图象按向量

a

平移后，所得到的图象关于原点对称，求使|

a

|得最小的向量

a

．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和的正弦函数，化简函数f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

，为函数f（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）+1；
（2）平移后的函数关于原点对称，得到f（x）=

3

sin2x，求出使|

a

|得最小的向量

a

即可．

解答：解：（1）函数f（x）=-

3

sinxcosx+3cos²x-

1

2

=

3

•

1

2

sin2x+3•

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）+1
   即：f（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）+1，
（2）设

a

=(a，b)，所以将y=f（x）的图象按向量

a

平移后，得到函数f（x）=

3

sin（2x+2a+

2π

3

）+1+b，所得到的图象关于原点对称，就是得到函数f（x）=

3

sin2x，|

a

|得最小，所以a=

π

6

，b=-1
满足题意的

a

为：(

π

6

，-1)．

点评：本题是基础题，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的奇偶性，图象的平移，三角函数的化简，化简是基础，是解题的关键，否则两问都出问题．