题目内容
已知函数f（x）=lnx，g（x）=
（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x），
（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图像上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=
+m-1的图像与函数y=f（1+x2）的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x），（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图像上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值；（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=
+m-1的图像与函数y=f（1+x2）的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）
，
∵a＞0，由
，
∴F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由
，
∴F（x）在（0，a）上单调递减，
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）
，
，
当
时，
取得最大值
，
∴
。
（Ⅲ）若
的图象与
的图象恰有四个不同的交点，
即
有四个不同的根，
亦即
有四个不同的根，
令
，
则
，
当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表：
由表格知：
，
又∵
可知，
当
时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点；
∴当
时，
的图象与
的图象恰有四个不同的交点。
， ∵a＞0，由
，∴F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由
，∴F（x）在（0，a）上单调递减，
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）
，，当
时，取得最大值，∴
。（Ⅲ）若
的图象与的图象恰有四个不同的交点，即
有四个不同的根，亦即
有四个不同的根，令
，则
，当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表：
由表格知：
，又∵
可知，当
时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点；∴当
时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。
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