Question

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）记f（x）=3•F（1，x），设Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，若不等式

an

Sn

＜

an+1

Sn+1

对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记g（x）=F（x，2），正项数列a_n满足：a1=3，g(an+1)=8an，求数列a_n的通项公式，并求所有可能的乘积a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

分析：（1）有定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）先把关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1，然后求解一元二次不等式即可；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）的解析式，进而求得Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，然后利用不等式

an

Sn

＜

an+1

Sn+1

对n∈N*恒成立求解即可；
（3）有g（x）=F（x，2），且正项数列a_n满足：a1=3，g(an+1)=8an，求出数列a_n的通项公式，即可．

解答：解：（1）有定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）得到：不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1?

1

2

≤x≤1；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）=3x∴Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)=3(

1

n

+

2

n

+…+

n

n

 )=

3

2

(n+1)，
∵

an

Sn

-

an+1

Sn+1

=

an

3 2 (n+1)

-

an=1

3 2 (n+2)

=

2

3

an(

1

n+1

-

a

n+2

)＜0对n∈N*恒成立，
当a＞0时，aⁿ＞0，∴

1

n+1

-

a

n+2

＜0对n∈N*恒成立?a＞

n+2

n+1

=1+

1

n+1

对n∈N*恒成立，易知(

n+2

n+1

)max=

3

2

，∴a＞

3

2

（3）∵g（x）=F（x，2），∴g（x）=2^x，又正项数列a_n满足：a1=3，g(an+1)=8an，∴2an+1=8an?a_n+1=3a_n又a₁=3
∴a_n=3ⁿ?a_i•a_j=3^i+j（o≤i≤j≤n），
将所得的积排成如下矩阵A=

.

31+1， 31+2， 31+3， 31+4，…， 31+n   32+2， 32+3， 32+4，…， 32+n     33+3， 33+4，…， 33+n•       …           3n+n

.

，设该矩阵的各项和为S，由在矩阵的空格处填上相应的数可以得：
矩阵B=

.

31+1， 31+2， 31+3， 31+4，… 31+n 32+1， 32+2， 32+3， 32+4，… 32+n 33+1， 33+2， 33+3， 33+4，… 33+n … … … …   … … 3n+1， 3n+2， 3n+3， 3n+4，… 3n+n

.

，
在矩阵B中第一行的所有数的和为S1=32+33+…+3n+1=

1

2

(3n+1-9)；
  在矩阵B中第二行的所有数的和为 S2=33+34+…+3n+2=

3

2

(3n+2-9)；
…

点评：此题考查了一元二次不等式的求解，还考查了作差及不等式的恒成立及等比数列的求和．