Question

如图,在△ABC中,B=90°,AC=,D、E两点分别在AB、AC上,使=2,DE=3.现将△ABC沿DE折成直二面角,求:

(1)异面直线AD与BC的距离;

(2)二面角A-EC-B的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

解法一:(1)在图(1)中,因,故DE∥BC.

又因B=90°,从而AD⊥DE.

(1)

在图(2)中,因A-DE-B是直二面角,AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE,从而AD⊥DB.

而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.

下求DB之长.在图(1)中,由=2,得=.

又已知DE=3,从而BC=DE=,

AB===6.

因,故DB=2.

(2)在图(2)中,过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F,连接AF.

(2)

由(1)知,AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-EC-B的平面角.

在底面DBCF中,∠DEF=∠BCE,

DB=2,EC=·=,

因此sin∠BCE=,

从而在Rt△DFE中,DE=3,

DF=DEsin∠DEF=DEsin∠BCE=3·=.

在Rt△AFD中,AD=4,tan∠AFD==.

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan.

解法二:(1)同解法一.

(2)如图(3).由(1)知,以D点为坐标原点,、、的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,4),C(2,,0),E(0,3,0),

(3)

=(-2,,0),=(0,0,-4).

过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F,连接AF.

设F(x₀,y₀,0),从而=(x₀,y₀,0),

=(x₀,y₀-3,0).由DF⊥CE,有·=0,即2x₀+y₀=0.①

又由∥,得=.②

联立①②,解得x₀=,y₀=,即F(,,0),得=(,,-4).

因为·=()·(-2)+·()=0,

故AF⊥CE,又因DF⊥CE.

所以∠DFA为所求的二面角A-EC-B的平面角.

因=(,,0),有·=0,故AD⊥DF,△ADF为直角三角形.

||==,||=4,

所以tan∠AFD=.

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan.