Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，连接AC₁交平面A₁BD于H，则下列命题中，错误的命题是（　　）

• A．AH与DD₁所成的角为arctan

  2

• B．AC₁⊥平面A₁BD
• C．OH=

  3

  3

  a
• D．H是△A₁BD的垂心

Answer 1

分析：A 因为 DD₁∥AA₁，所以将AH与DD₁所成的角转化成AH与AA1所成的角∠A₁AC解决．
B由三垂线定理，可证AC₁⊥面A₁BD
D因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心
C在直角三角形CAC₁中求解．

解答：解：连接 A₁C₁，知tan∠A₁AC=

2

，即AH与DD₁所成的角为arctan

2

，A对
由三垂线定理，AC1在面ABCD上的射影为AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC₁  同理可证BA₁⊥AC₁∴AC₁⊥面A₁BD，B对
因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心  D对
由AC₁⊥面A₁BD知AH⊥HO，
HO=AO×sin∠CAC₁=

2a

2

×

a

3 a

=

6 a

6

，C错
故选C

点评：本题考查正方体的基本性质，线面位置关系、距离求解，考查空间想象能力、论证能力、计算能力．