题目内容
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(
)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并予以证明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（log2x）＞-2．
| x1 | x2 |
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并予以证明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（log2x）＞-2．
分析：（1）令x1=x2＞0，代入f(
)=f(x1)-f(x2)可求出f（1）的值；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则
＞1，根据条件可得f（x1）与f（x2）的大小关系，最后根据单调性的定义进行判定；
（3）将函数值-2用f（9）表示，然后根据单调性建立不等式，解之即可．
| x1 |
| x2 |
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则
| x1 |
| x2 |
（3）将函数值-2用f（9）表示，然后根据单调性建立不等式，解之即可．
解答：解：（1）令x1=x2＞0，代入得f（1）=f（x1）-f（x1）=0
∴f（1）=0
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则
＞1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(
)＜0即f（x1）-f（x2）＜0
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由f(
)=f(x1)-f(x2)，得f（
）=f（9）-f（3）
而f（3）=-1所以f（9）=-2
由函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数且f（log2x）＞f（9）
则0＜log2x＜9即1＜x＜512
因此不等式的解集为{x|1＜x＜512}
∴f（1）=0
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则
| x1 |
| x2 |
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(
| x1 |
| x2 |
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由f(
| x1 |
| x2 |
| 9 |
| 3 |
而f（3）=-1所以f（9）=-2
由函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数且f（log2x）＞f（9）
则0＜log2x＜9即1＜x＜512
因此不等式的解集为{x|1＜x＜512}
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和对数不等式的求解，同时考查了转化的思想，属于中档题．
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