题目内容
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（
）=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．
| x1 | x2 |
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．
分析：①在f（
）=f（x1）-f（x2）中令x1=x2，即可求得f（1）；
②定义法：设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（
），由x＞1时f（x）＜0可判断f（
）的符号，从而可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性定义即可作出判断；
③由f（3）=-1及f（
）=f（9）-f（3），可求得f（9）=-2，从而f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），根据单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，解出即可；
| x1 |
| x2 |
②定义法：设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
③由f（3）=-1及f（
| 9 |
| 3 |
解答：解 ①由f（
）=f（x1）-f（x2），令x1=x2，则f（1）=0；
②设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（
），
因为
＞1，所以f（
）＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（
）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．
| x1 |
| x2 |
②设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（
| x1 |
| x2 |
因为
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（
| 9 |
| 3 |
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．
点评：本题考查抽象函数的单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，抽象函数的性质问题常利用定义进行解决，解决抽象不等式的基本思路是利用性质转化为具体不等式处理．
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