Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；
（2）记g（x）=log 2(2x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂

2x1+1

2x2+1

∵x₁＜x₂，∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，∴log₂

2x1+1

2x2+1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）∵g（x）=log 2(2x-1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2(2x-1)-log₂（2^x+1）=log₂（1-

2

2x+1

）．
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

∴m的取值范围是[log2

1

3

，log2

3

5

]．