题目内容
（2008•佛山二模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜
)的图象上一个最高点的坐标为(
，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在x=
处的切线方程．
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在x=
| π |
| 6 |
分析：（I）根据三角函数周期的公式，算得ω=2．由图象上的最大、最小值的点组成方程组，解出A=2，B=1．最后根据函数的最大值点代入，结合|?|＜
可得φ=
，从而得出f（x）的表达式；
（II）由导数的运算公式与法则，得所求切线的斜率k=f′(
)=-2，而当x=
时函数值f(
)=
+1，利用直线的点斜式方程列式，化简整理即可得到f（x）在x=
处的切线方程．
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（II）由导数的运算公式与法则，得所求切线的斜率k=f′(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）依题意，得
=
-
=
，所以T=π，
∴ω=
=2…（1分）
又∵
，∴解之得
…（3分）
再把(
，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得sin(
+?)=1，所以
+?=2kπ+
（k∈Z），
所以?=2kπ+
，
因为|?|＜
，所以取k=0得?=
…（5分）
综上所述，f（x）的表达式为：f(x)=2sin(2x+
)+1…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）的导数为f′(x)=4cos(2x+
)…（8分）
∴所求切线的斜率k=f′(
)=4cos(2×
+
)=4cos
=-2…（9分）
而f(
)=2sin(2×
+
)+1=2sin
+1=
+1…（10分）
∴f（x）在x=
处的切线方程为y-(
+1)=-2(x-
)
化简，得6x+3y-3
-3-π=0…（12分）
| T |
| 2 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
∴ω=
| 2π |
| T |
又∵
|
|
再把(
| π |
| 12 |
可得sin(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
所以?=2kπ+
| π |
| 3 |
因为|?|＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
综上所述，f（x）的表达式为：f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
（Ⅱ）因为f（x）的导数为f′(x)=4cos(2x+
| π |
| 3 |
∴所求切线的斜率k=f′(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
而f(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
∴f（x）在x=
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
化简，得6x+3y-3
| 3 |
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式并求图象上某点处的切线方程，着重考查了三角函数的图象与性质和导数的几何意义等知识，属于中档题．
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