题目内容
函数f（x）=x3+ax2-bx+c，a，b，c∈R，已知方程f（x）=0有三个实根x1，x2，x3，即f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）
（1）求x1+x2+x3，x1x2+x2x3+x1x3和x1x2x3的值．（结果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．
（1）求x1+x2+x3，x1x2+x2x3+x1x3和x1x2x3的值．（结果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．
分析：（1）由已知，x3+ax2-bx+c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），比较两边系数，即得结果；
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
解答：解：（1）由已知，x3+ax2-bx+c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），
比较两边系数，得x1+x2+x3=-a，x1x2+x2x3+x3x1=-b，x1x2x3=-c．
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，
因为-1＜α＜0＜β＜1，由实根分布，则
由b∈Z，|b|＜2，b＞0，则b=1．
再代入上述不等式，
又有：2a＞-2，2a＜2，且a∈Z，
∴a=0，
所以f′（x）=3x2-1
则α=-
，β=
，
且f（x）在x=-
处取得极大值x=
取得极小值，
故f（x）=0要有三个不等根，则必须
即：
，⇒
解得-
＜c＜
．
∴此方程三个根两两不等时c的取值范围是：-
＜c＜
．
比较两边系数，得x1+x2+x3=-a，x1x2+x2x3+x3x1=-b，x1x2x3=-c．
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，
因为-1＜α＜0＜β＜1，由实根分布，则
|
由b∈Z，|b|＜2，b＞0，则b=1．
再代入上述不等式，
又有：2a＞-2，2a＜2，且a∈Z，
∴a=0，
所以f′（x）=3x2-1
则α=-
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| 3 |
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| 3 |
且f（x）在x=-
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故f（x）=0要有三个不等根，则必须
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即：
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解得-
2
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2
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∴此方程三个根两两不等时c的取值范围是：-
2
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2
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点评：本小题主要考查函数在某点取得极值的条件、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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