Question

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过

15

16

的最小自然数n的值为

5

．

Answer 1

分析：分别令x等于1和x等于-1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知 

f(x)

g(x)

=a^x 是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{a_n}的通项公式，进而求得其前n项和S_n，解不等式S_n≤

15

16

，即可求得结果．

解答：解：令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

1

a

•g（-1）．
代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

 可得 a+

1

a

=

5

2

，化简得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴(

f(x)

g(x)

)′＜0，
从而可得 

f(x)

g(x)

=a^x 是减函数，故a=

1

2

．
∴an=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
再由 1-

1

2n

＞

15

16

 解得 n＞4，故 n的最小值为5，
故答案为 5．

点评：题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出

f(x)

g(x)

=a^x 的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．