Question

设函数f(x)=

1

2

x-

1

8

sin2x-

3

8

cos2x．
（1）试判定函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）已知函数f（x）的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为

1

2

，求

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，利用导数求出函数的单调性区间即可，本题由于导数恒正，故可确定函数是R上是增函数．
（2）令导数等于2，求出切点的横坐标，代入

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

利用三角恒等变换公式化简求值即可．

解答：解：f′(x)=

1

2

-

1

4

cos2x+

3

4

sin2x=

1

2

sin(2x-

π

6

)+

1

2

≥0，
∴f（x）定义域内单调递增．（4分）
（2）由f′(x0)=

1

2

sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=

1

2

，
得：sin(2x0-

π

6

)=0．∴2x0-

π

6

=kπ(k∈Z)，
得2x0=kπ+

π

6

(k∈Z)，（4分）
∴

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

=

2sinx0cosx0(sinx0+cosx0)

cosx0+sinx0

=sin2x0=sin(kπ+

π

6

)=

3 2 k取偶数时 - 3 2 k取奇数时

（6分）

点评：本题考查正弦函数的单调性及求导公式，解题的关键是正确求出函数的导数，利用导数的意义研究函数的单调性求切点的坐标，本题中二的求值过程中要利用三角恒等式进行化简，三角恒等式由于公式比较多，记忆较难，导致公式记不准或者用不准出错，学习时要善加记忆，多多关注．