Question

（本题满分12分）设函数f(x)＝x³－ax²＋3x＋5(a＞0)．

(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；

(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．

【解析】

试题分析：(1)f′(x)＝3x²－ax＋3，              2分

其判别式Δ＝a²－36.

当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立，                4分

此时f(x)在R上为增函数．                       6分

(2)a＝2时，f′(x)＝3x²－2x＋3＞0恒成立，

因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，                8分

从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)_max＝f(2)＝15，        10分

要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，

解得m∈[15，＋∞)．

故m的取值范围是[15，＋∞)．                      12分

考点：利用导数研究函数的单调性。

点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。