题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x） $数学公式$ ；
（1）求函数f（x）的表达式；　
（2）若g（x）=f（ $数学公式$ ），求函数g（x）的单调增区间．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，又周期 $\text{[math]}$
∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
得： $\text{[math]}$
∴f（x）的解析式为 $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴g（x）的增区间是函数y=sin $\text{[math]}$ 的减区间
∴由 $\text{[math]}$ 得g（x）的增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）
（等价于 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）利用辅助角公式化简，通过周期求出ω，通过函数的最值，列出方程，求出函数的解析式即可．
（2）利用g（x）=f（ $\text{[math]}$ ）求出函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数的单调区间即可．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，考查计算能力．

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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）

A．f（7.8）＜f（5.5）＜f（-2）

B．f（5.5）＜f（7.8）＜f（-2）

C．f（-2）＜f（5.5）＜f（7.8）

D．f（5.5）＜f（-2）＜f（7.8）

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=

f(x-1)-f(x-2)，x＞0

log2(1-x)， x≤0

则：
①f（3）的值为

，
②f（2011）的值为

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=

1，(-1＜x≤0)

-1，(0＜x≤1)

，则f（3）=（　　）

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已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）