题目内容

(2012•湖南模拟)函数f(x)=x2+|x-a|-1
(1)若a=0,则方程f(x)=0的解为
x=
5
-1
2
或x=
1-
5
2
x=
5
-1
2
或x=
1-
5
2

(2)若函数f(x)有两个零点,则a的取值范围是
(-
5
4
5
4
(-
5
4
5
4
分析:(1)若a=0,解方程 x2+|x|-1=0,解得|x|的值,即可得到方程f(x)=0的解.
(2)由题意可得函数y=x2-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点,当-1≤a≤1 时,结合图象可得满足条件.
当当y=-|x-a|的图象(两条射线)与函数y=x2-1的图象相切时,求得a=-
5
4
,或a=
5
4
,结合图象可得a的取值范围.
解答:解:(1)若a=0,则方程f(x)=0即 x2+|x|-1=0,解得|x|=
-1+
5
2

∴x=
-1+
5
2
,或 x=
1-
5
2

故答案为  x=
-1+
5
2
,或 x=
1-
5
2

(2)由于f(x)=x2+|x-a|-1=0有两个零点,故函数y=x2-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点.
如图所示:
当-1≤a≤1 时,显然函数y=x2-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点.
当y=-|x-a|的图象(两条射线)与函数y=x2-1的图象相切时,
y=x2-1
y=x-a
 有唯一解,或
y=x2-1
y=-x+a
有唯一解.
故 x2+x-a-1=0 有唯一解,或  x2-x+a-1=0 有唯一解.
1=1+4a+4=0,或△2=1-4a+4=0.  解得 a=-
5
4
,或a=
5
4

结合图象可得-
5
4
<a<
5
4

故答案为 (-
5
4
5
4
 ).
点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,带有绝对值的函数,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.
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