Question

16、如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，O是AD的中点
（1）求证：CD∥平面PBO；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）因为AD=2BC，且O是AD中点，可以证四边形BCDO为平行四边形，然后根据直线与平面的判断定理进行证明；
（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，先证明PD⊥平面PAB，再由PD?平面PCD，利用平面与平面垂直的判断定理，进行求证．

解答：证明：（1）因为AD=2BC，且O是AD中点，
所以OD=BC，又AD∥BC，所以OD∥BC，
所以四边形BCDO为平行四边形，（2分）
所以CD∥BO，CD?平面PBO，
且BO?平面PBO，故CD∥平面PBO；（6分）
（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，（8分）PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，AP⊥PD，AB∩AP=A，
∴PD⊥平面PAB，（12分）∵PD?平面PCD，
故平面PAB⊥平面PCD． （14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．