题目内容
（2012•泰安二模）如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2
，AC=BC，F是AB上一点，且AF=
AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上．
（I）求证平面ACD⊥平面BCD；
（II）求证：AD∥平面CEF．
| 3 |
| 1 |
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（I）求证平面ACD⊥平面BCD；
（II）求证：AD∥平面CEF．
分析：（I）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，可得平面ACD⊥平面BCD；
（II）直角三角形BCD中，根据Rt△CED∽Rt△BCD，得CD2=BD•DE，结合CD、BD的长算出DE的长，从而得到DE：DB=AF：AB，所以AD∥EF，结合线面平行的判定定理，可得AD∥平面CEF．
（II）直角三角形BCD中，根据Rt△CED∽Rt△BCD，得CD2=BD•DE，结合CD、BD的长算出DE的长，从而得到DE：DB=AF：AB，所以AD∥EF，结合线面平行的判定定理，可得AD∥平面CEF．
解答：解：（I）∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD
∵点C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADB
∴结合AD?平面ADB，得AD⊥CE
∵BD、CE是平面BCD内的相交直线
∴AD⊥平面BCD
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2
，可得BD=
=3
等腰Rt△ABC中，AB=2
，∴AC=BC=
AB=
∵AD⊥平面BCD，CD⊆平面BCD，∴AD⊥CD
Rt△ADC中，CD=
=
，
∵Rt△BCD中，CE是斜边BD上的高
∴Rt△CED∽Rt△BCD，得
=
，
因此，CD2=BD•DE，即3=3•DE，得DE=1
∴△ABD中，
=
=
，可得EF∥AD
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF
∴AD∥平面CEF
∵点C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADB
∴结合AD?平面ADB，得AD⊥CE
∵BD、CE是平面BCD内的相交直线
∴AD⊥平面BCD
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2
| 3 |
| AB2-AD2 |
等腰Rt△ABC中，AB=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 6 |
∵AD⊥平面BCD，CD⊆平面BCD，∴AD⊥CD
Rt△ADC中，CD=
| AC2-AD2 |
| 3 |
∵Rt△BCD中，CE是斜边BD上的高
∴Rt△CED∽Rt△BCD，得
| CD |
| BD |
| DE |
| CD |
因此，CD2=BD•DE，即3=3•DE，得DE=1
∴△ABD中，
| DE |
| DB |
| AF |
| AB |
| 1 |
| 3 |
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF
∴AD∥平面CEF
点评：本题将圆沿直径翻折，求证面面垂直和线面平行，着重考查了空间线面平行的判定、线面垂直的性质和面面垂直的判定等知识，属于中档题．
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