Question

下列说法正确的是（　　）

• A．存在α∈[0，

  π

  2

  ]使sinα+cosα=

  1

  3

• B．y=tanx在其定义域内为增函数
• C．y=cos2x+sin（

  π

  2

  -x）既有最大、最小值，又是偶函数
• D．y=sin|2x+

  π

  6

  |最小正周期为π

Answer 1

分析：用分析法可得A不正确．通过举反例来可得B不正确．化简函数的解析式为2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，可得C正确．根据y=sin|2x+

π

6

|最小正周期为

1

2

×

2π

2

=

π

2

，可得D不正确．

解答：解：要使使sinα+cosα=

1

3

，只要 1+2sinαcosα=

1

9

，即 sinαcosα=-

4

9

，
故α不可能满足α∈[0，

π

2

]，故A不正确．
由于当x=0 时，tanx=0，当 x=π 时，也有tanx=0，π＞0，故y=tanx在其定义域内不是增函数，故B不正确．
由于y=cos2x+sin（

π

2

-x）=2cos²x-1+cosx=2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，由于cosx为偶函数，故函数y为偶函数．
当cosx=1时，y取得最大值为

25

8

，当cosx=-

1

4

时，y取得最小值为-

9

8

，故C正确．
由于y=sin|2x+

π

6

|最小正周期为

1

2

×

2π

2

=

π

2

，故D不正确，
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．