题目内容
【题目】四棱锥中,
面
,底面
为菱形,且有
,
,
,
为
中点.
(1)证明:面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为
【解析】
(1)因为菱形的对角线互相垂直,所以,再由
的中位线,得到
,结合
面
,所以
面
,从而
.最后根据直线与平面垂直的判定定理,得到
面
;
(2)以为原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴,建立如图所示坐标系,则可得到
、
、
、
各点的坐标,从而得到向量
、
、
的坐标,然后利用垂直向量数量积为零的方法,分别求出平面
和平面
的一个法向量,结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值.最后根据题意,二面角
是锐二面角,得到二面角
平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值.
解:(1)设为底面
的中心,连接
,
底面
为菱形,
中,
、
分别是
、
的中点
又面
,
面
面
,
又、
是平面
内的两条相交直线
面
(2)以为原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴,建立如图所示坐标系,则可得
设是平面
一个法向量
由,解得
,
所以取,
,
,可得
,
因为平面
,所以向量
即为平面
的一个法向量,设
根据题意可知:二面角是锐二面角,其余弦值等于
二面角
的平面角的余弦值为
.
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