题目内容
过双曲线
-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：
•
为定值．（2）若
=
，求动点M的轨迹方程．
| y2 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OB |
| AM |
分析：（1）设P（x0，y0）是双曲线上任一点，先求曲线在P点处的切线方程，再将切线方程与两条渐近线联立即可解得A、B的坐标，从而证明
•
为定值；（2）设动点M（x，y），由
=
，得
=
+
，将向量坐标代入即可得M点坐标与P点坐标间的关系，代入点P的轨迹即可得动点M的轨迹方程．
| OA |
| OB |
| OB |
| AM |
| OM |
| OA |
| OB |
解答：解．（1）∵双曲线
-x2=1的上支可表示为函数y=
，且y′=
×
=
设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=
（x-x0）
即y-y0=
（x-x0），即y0y-3x0x=3，
与渐近线方程y=
x联立，解得A(
，
)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±
x0≠0）；
与渐近线y=-
x联立，解得B(
，
)，
∴
•
=
+
=
+
=2（定值）
（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由
=
知
=
+
，由（1）有
即
再由P（x0，y0）在双曲线
-x2=1 （y＞0）上
∴
-
=1，
∴
-
=1
故所求轨迹为
-
=1(y＞0)．
| y2 |
| 3 |
| 3+3x2 |
| 1 |
| 2 |
| 6x | ||
|
| 3x | ||
|
设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=
| 3x 0 | ||
|
即y-y0=
| 3x 0 |
| y0 |
与渐近线方程y=
| 3 |
| ||
y0-
|
| 3 | ||
y0-
|
| 3 |
与渐近线y=-
| 3 |
-
| ||
y0+
|
| 3 | ||
y0+
|
∴
| OA |
| OB |
| -3 | ||||
|
| 9 | ||||
|
| -3 |
| 3 |
| 9 |
| 3 |
（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由
| OB |
| AM |
| OM |
| OA |
| OB |
|
即
|
再由P（x0，y0）在双曲线
| y2 |
| 3 |
∴
| ||
| 3 |
| x | 2 0 |
∴
| ||
| 3 |
| x2 |
| 4 |
故所求轨迹为
| y2 |
| 12 |
| x2 |
| 4 |
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其几何意义，切线方程的求法，代入法求动点的轨迹方程
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