Question

填空题
（1）已知，则sin2x的值为________．
（2）已知定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为________．

（3）设向量满足，，，若，则的值是________．

Answer 1

解：（1）∵===2cos（+x），
∴cos（+x）=，∴sin2x=-cos（+2x）=-[2-1]=-（- ）=，
故答案为 ．
（2）依题意作出函数y=f（x）在区间[0，]上的简图，当直线y=a与函数y=f（x）的图象有交点时，则可得-1≤a≤0．
①当＜a≤0，f（x）=a有2个解，②当时，f（x）=a有3个解，
③当-1＜a时，f（x）=a有4个交点，④a=-1时，f（x）=a有2个交点，
故方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为，
故答案为 ．

（3）由题意可得==0，∴，=．
再由 ，可得=1．
再由，=-（） 可得 ==+2=2．
∴=4，
故答案为4．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简已知条件可得cos（+x）=，由sin2x=-cos（+2x），利用二倍角的余弦公式求出结果．
（2）作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为S，即可得到答案．
（3）由条件求得 ，=1，再由得 ==+2=2，即可求得值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象及性质，两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．