Question

如图所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，CF=，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

(1)证明PB⊥平面CEF；

(2)求二面角BCEF的大小.

Answer 1

思路解析:线面垂直证明可以由线线垂直或面面垂直来证，所以要充分注意题目中的垂直条件.二面角的求解必须论证角的两边与棱垂直.

(1)证明:∵PA²+AC²=36+64=100=PC²，

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形.

同理,可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.

∴PA⊥平面ABC.

又∵S_△PBC=|PC||BC|=×10×6=30，

而|PB||CF|=×=30=S_△PBC，故CF⊥PB.又已知EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF.

(2)解:由(1)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC，∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE.

在平面PAB内，过F作FF₁垂直AB交AB于F₁，则FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC.

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角.

tan∠FEB=cot∠PBA=，二面角BCEF的大小为arctan.