题目内容
【题目】如图,点P是菱形ABCD所在平面外一点,且平面ABCD,
,
,
.
(1)求证:平面平面PCE;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取PC中点M,连接BD交AC于O,连接OM,EM.根据菱形性质可得,再由
即可证明
平面PAC,进而利用平行四边形性质可证明
,即可得
平面PAC,结合平面与平面垂直的判定即可证明平面
平面
;
(2)以OB,OC,OM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可设,写出各个点的坐标.利用向量的数量积求得平面
和
平面的法向量,即可利用空间向量数量积的运算求得夹角的余弦值.
(1)证明:取PC中点M,连接BD交AC于O,连接OM,EM.如下图所示:
在菱形ABCD中,,
平面ABCD,
平面ABCD,
,
又,PA,
平面PAC,
平面PAC,
,M分别是AC,PC的中点,
,
,
又,
,
,
,
四边形OMED是平行四边形,则
,
平面PAC,
又平面PCD,
平面
平面PCE.
(2)由(1)得平面PAC﹐则OB,OC,OM两两垂直,以OB,OC,OM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示
设,则
,
,
,
,
,
,
,
设是平面BPC的一个法向量,则
,即
,
,
设是平面FPC的一个法向量,同理得,
,
由图可知二面角为锐二面角
二面角
的余弦值为
.

【题目】十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开为了了解某校大学生对两会的关注程度,学校媒体在开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了180人,对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查,统计数据如下:
收看 | 没收看 | |
男生 | 80 | 40 |
女生 | 30 | 30 |
(1)根据上表说明,在犯错误的概率不超过1%的前提下,能否认为该校大学生收看开幕会与性别有关?(计算结果精确到0.001)
(2)现从随机抽取的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取6人,来参加2019年两会的志愿者宣传活动,若从这6人中随机选取2人到各班级宣传介绍,求恰好选到一名男生和一名女生的概率. 附,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |