题目内容

已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且,x2x3=6,,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若,3a>2c>2b,求证:导函数f'(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于,求的取值范围.
【答案】分析:(I)因为,因为x2,x3是方程的两根,使用根与系数的关系,再由,求出b、a、c 的值,得到f(x)的 解析式及f'(x)的解析式,由f'(x)<0求出减区间.
(Ⅱ) 求出,f'(0)=c,f'(2)=a-c,当c>0时 f'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,当c≤0时,f'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,由|m-n|≥,及 3a>2c>2b,a>0 求出的取值范围.
解答:解:(I)因为,又,则
因为x2,x3是方程的两根,则.即b=-3a,c=2a.
,即,所以,,即a=1,从而b=-3,c=2.
所以,.  因为f'(x)=x2-3x+2,由x2-3x+2<0,得1<x<2.
故f(x)的单调递减区间是(1,2),单调递增区间是(-∞,1),(2+∞).
(Ⅱ)因为f'(x)=ax2+bx+c,,所以,即3a+2b+2c=0.
因为3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
于是,f'(0)=c,f'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.
(1)当c>0时,因为,则f'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
(2)当c≤0时,因为,则f'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
故导函数f'(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,则
所以
由已知,,则,即
所以,即
又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以,3a>-3a-2b>2b,即
因为a>0,所以
综上分析,的取值范围是
点评:本题考查利用导数判断函数的单调性,函数的零点的判断,二次函数的性质与不等式性质的应用.
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