题目内容
已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且


(Ⅱ)若

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于


【答案】分析:(I)因为
,因为x2,x3是方程
的两根,使用根与系数的关系,再由
,求出b、a、c 的值,得到f(x)的 解析式及f'(x)的解析式,由f'(x)<0求出减区间.
(Ⅱ) 求出
,f'(0)=c,f'(2)=a-c,当c>0时 f'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,当c≤0时,f'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,由|m-n|≥
,及 3a>2c>2b,a>0 求出
的取值范围.
解答:解:(I)因为
,又
,则
.
因为x2,x3是方程
的两根,则
,
.即b=-3a,c=2a.
又
,即
,所以,
,即a=1,从而b=-3,c=2.
所以,
. 因为f'(x)=x2-3x+2,由x2-3x+2<0,得1<x<2.
故f(x)的单调递减区间是(1,2),单调递增区间是(-∞,1),(2+∞).
(Ⅱ)因为f'(x)=ax2+bx+c,
,所以
,即3a+2b+2c=0.
因为3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
于是
,f'(0)=c,f'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.
(1)当c>0时,因为
,则f'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
(2)当c≤0时,因为
,则f'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
故导函数f'(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,则
,
.
所以
.
由已知,
,则
,即
.
所以
,即
或
.
又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以,3a>-3a-2b>2b,即
.
因为a>0,所以
.
综上分析,
的取值范围是
.
点评:本题考查利用导数判断函数的单调性,函数的零点的判断,二次函数的性质与不等式性质的应用.



(Ⅱ) 求出

(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,由|m-n|≥


解答:解:(I)因为



因为x2,x3是方程



又



所以,

故f(x)的单调递减区间是(1,2),单调递增区间是(-∞,1),(2+∞).
(Ⅱ)因为f'(x)=ax2+bx+c,


因为3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
于是

(1)当c>0时,因为

(2)当c≤0时,因为

故导函数f'(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,则


所以

由已知,



所以



又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以,3a>-3a-2b>2b,即

因为a>0,所以

综上分析,


点评:本题考查利用导数判断函数的单调性,函数的零点的判断,二次函数的性质与不等式性质的应用.

练习册系列答案
相关题目
已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在
上为增函数,则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数,若
且
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函数值由下表给出,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,说明理由.
已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在
上为增函数,则称
为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数,若
且
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函数值由下表给出,
| | | | |
| | | | |
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,说明理由.
已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在
上为增函数,则称
为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数,若
且
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函数值由下表给出,
| | | | |
| | | |
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,说明理由.