Question

（2013•醴陵市模拟）已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是

5

．

Answer 1

分析：本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e，或是关于实半轴长2a与焦距2C的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率．

解答：解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
不妨设P在第一象限，
则由已知得

m-n=2a m2+n2=(2c)2 n+2c=2m

∴5a²-6ac+c²=0，
方程两边同除a²得：
即e²-6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去），
故答案为5．

点评：解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF₁|设为m，|PF₂|设为n，这时要求离心率e，我们要找出a，c之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即P点到两个焦点的距离之差为定值．