Question

7．设动点P在曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上，定点A（4，0），在直线AP的上方作正三角形PMA，则△PMA的面积的最大值为$9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通过设P（x，y）、计算可知|AP|²=$\frac{3}{4}$x²-8x+17，进而可知当x=-2时|AP|²取最大值36，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，当△PMA的面积取最大值，即|AP|取最大值，
设P（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
又∵A（4，0），
∴|AP|²=（x-4）²+（y-0）²
=x²-8x+16+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$
=$\frac{3}{4}$x²-8x+17，
∵-2≤x≤2，
∴当x=-2时，|AP|²取最大值$\frac{3}{4}$×4-8×（-2）+17=36，
∴|AP|=6，
∴△PMA的面积的最大值为$\frac{1}{2}$|AP|²sin60°=9$\sqrt{3}$，
故答案为：$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．