Question

（2012•扬州模拟）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，则该双曲线的离心率等于

10

．

Answer 1

分析：求出双曲线的渐近线方程，函数y=x³+2，求导函数，再设切点坐标，利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，函数y=x³+2，求导函数可得y=3x²，
设切点坐标为（m，n），则
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，
∴

n=3m2 n= b a m 3m2= b a

，∴m=1，

b

a

=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，∴c=

10

a
∴e=

c

a

=

10

故答案为：

10

点评：本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切是关键．