Question

（2012•扬州模拟）如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且

D1E

=λ•

EO

．
（Ⅰ）求证：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）设正方体棱长为1，以DA，DC，DD₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出D、B₁、O、C、D₁的坐标，从而得到向量

DB1

、

CD1

和

OC

的坐标，通过计算得到

DB1

与

CD1

、

DB1

与

OC

的数量积均为零，得到DB₁与CD₁、OC都垂直，结合线面垂直的判定定理，可证出DB₁⊥平面CD₁O；
（II）设平面CDE的法向量为

n

=(x，y，z)，利用垂直的两个向量数量积为零的方法列出方程组，取x=-2，得z=λ，得

n

=(-2，0，λ)，结合平面CDE的法向量为

m

=(1，1，1)，所以

m

•

n

=0，可得到λ的值．

解答：解：（Ⅰ）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则可得D(0，0，0)，B1(1，1，1)，O(

1

2

，

1

2

，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)
于是：

DB1

=(1，1，1)，

CD1

=(0，-1，1)，

OC

=(-

1

2

，

1

2

，0)
∵

DB1

•

CD1

=1×0+1×(-1)+1×1=0，

DB1

•

OC

=1×(-

1

2

)+1×

1

2

+1×0=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC，
∵CD₁，OC为平面CD₁O内两条相交直线，
∴DB₁⊥平面CD₁O
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面CD₁O的法向量取

m

=

DB1

=(1，1，1)
∵

D1E

=λ•

EO

，∴E(

λ

2(1+λ)

，

λ

2(1+λ)

，

1

1+λ

)
又设平面CDE的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

•

CD

=0，

n

•

DE

=0
得

y=0 λx 2(1+λ) + λy 2(1+λ) + z 1+λ =0

，
取x=-2，得z=λ，即

n

=(-2，0，λ)
∵平面CDE⊥平面CD₁O，
∴

m

•

n

=0，即1×（-2）+1×0+1×λ=0，可得λ=2

点评：本题在正方体中研究线面垂直和面面垂直的问题，着重考查了平面与平面垂直的性质、直线与平面垂直的判定和利用空间坐标系研究空间的垂直问题等知识点，属于基础题．