题目内容

对函数f（x）=2x-x2．给出以下四个结论：
①f（x）有且只有一个零点；
②f（x）有且只有两个零点；
③f（x）有且只有三个零点；
④f（x）的最小零点在区间（-1，-0.75）内．
其中正确结论的个数是（　　）
分析：将方程2x-x2=0的零点问题转化成函数y=x2与函数y=2x图象的交点问题，画出图象可得．
解答：解：f（x）的零点问题转化为关于x的方程2x-x2=0，
可化为2x=x2． 
分别画出函数y=x2和y=2x的图象，如图所示：
由图可知，它们的交点情况是：恰有3个不同的交点．
故：
③f（x）有且只有三个零点，正确，
④f（x）的最小零点在A点处，在区间（-1，-0.75）内，正确．
故选B．
点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．
练习册系列答案
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8、对函数f（x）=2x-|x2-1|-1的零点的个数的判断正确的是（　　）
若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是
 
．（把满足条件的序号全部写在横线上）
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③[f（x1）-f（x2）]•（x1-x2）＞0④f(x1)+f(x2)＞2f(
x1+x22
)．
（2010•江苏模拟）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点(
π2
，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是
④
④
．
某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的4个结论，其中正确的结论是（　　）
某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①点（0，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
②函数y=f（x）图象关于y轴对称；
③函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上也单调递增；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是
①④
①④
．

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